線積分定理
梯度定理，也稱為線積分定理，表明在標量函式s的梯度場中，沿某一曲線的線積分等於該標量函式在曲線起點和終點值的差。具體來說，如果C是一條光滑曲線，由向量表示r(t)=r[x(t),y(t),z(t)]，其中a≤t≤b，那麼對於標量函式s，其梯度∇s在C上連續時，有：
∫C∇s⋅dr = s(r(b)) - s(r(a))
這裡，a和b分別是曲線的起點和終點。梯度定理表明梯度場的線積分與積分路徑無關，這定義了物理學中的保守力或守恆力，其做功取決於做功的起始和終止點，而與路徑無關，例如重力做功。
此外，梯度定理可以推廣到三維空間中的體積分和邊界上的線積分之間的關係，這與Green公式、微積分基本定理和Gauss公式有相似之處。