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卡瓦列利定理

卡瓦列利定理,也稱為卡瓦列利原理或祖暅原理,是一種幾何求積的原理。它指出,夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形,如果被平行於這兩條直線的任意直線所截,所得的兩條截線長度相等,則這兩個平面圖形的面積相等。同樣,夾在兩個平行平面之間的兩個立體圖形,如果被平行於這兩個平面的任意平面所截,所得的兩個截面的面積相等,則這兩個立體圖形的體積相等。

這個定理在中國被稱為「祖暅原理」,它的後半部分與南北朝時期著名數學家祖暅在計算球體積時所提出的「冪勢既同,則積不容異」的論斷是一致的。卡瓦列利運用這個原理求得了許多平面圖形的面積和立體圖形的體積,是現行中學立體幾何教材求幾何體積的基本雛形。

卡瓦列利定理的發現起源於《九章算術》中的答案是錯誤的。唐代李淳風注《九章算術》時提到祖暅的開立圓術。祖暅在求球體積時,使用一個原理:「冪勢既同,則積不容異」。意思是兩個同高的立體,如在等高處的截面積相等,則體積相等。

在西方,球體的體積計算方法雖然早已由希臘數學家阿基米德發現,但「祖暅原理」是在獨立研究的基礎上得出的,且比阿基米德的內容要豐富,涉及的問題要複雜。二者有異曲同工之妙。根據這一原理就可以求出牟合方蓋的體積,然後再導出球的體積。