歐拉公式的推導主要有兩種方法：
泰勒展開法：
將指數函式 \(e^{ix}\) 和三角函式 \(\cos(x) + i\sin(x)\) 分別進行泰勒展開。
對於 \(e^{ix}\)，展開式為 \(1 + ix - \frac{1}{2}x^2 - \frac{i}{3!}x^3 + \cdots\)。
對於 \(\cos(x) + i\sin(x)\)，展開式為 \(1 - \frac{1}{2}x^2 + \cdots + i(x - \frac{1}{3!}x^3 + \cdots)\)。
通過比較兩個展開式的係數，可以發現它們在實部和虛部上都是一致的，從而證明了 \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\)。
棣莫弗公式法：
棣莫弗公式表明 \((\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))(\cos(\beta) + i\sin(\beta)) = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)\)。
令 \(\alpha = \beta = x\)，則 \((\cos(x) + i\sin(x))^2 = \cos(2x) + i\sin(2x)\)。
通過數學歸納法和棣莫弗公式，可以證明對於任意整數 \(n\)，\((\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx)\)。
特別地，當 \(n = 1\) 時，得到 \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\)。
這兩種方法都是推導歐拉公式的有效途徑，它們從不同的角度出發，但最終都得到了相同的結果。