恆等映射

恆等映射，也稱為恆等函式，是一種特殊的映射，具有以下特點：

定義：對於任意元素，其像（即映射後的結果）與原象（即映射前的元素）相同的映射。具體來說，如果映射 ( f ) 的定義域 ( A ) 和值域 ( B ) 相等，並且對於所有的 ( a \in A )，都有 ( f(a) = a )，則稱 ( f ) 為恆等映射。恆等映射通常記作 ( I_A ) 或 ( id_A ) 等。

性質：

對於映射 ( f: A \to B )，有 ( I_B \circ f = f \circ I_A = f )，說明恆等映射與任何映射複合的結果仍然是原映射。

如果存在映射 ( g: A \to B ) 使得 ( g \circ f = I_A ) 且 ( f \circ g = I_B )，則 ( f ) 是一一對應的，且 ( g = f^{-1} )，表明恆等映射在映射的複合中起到關鍵作用。

對於任何集合 ( A )，都存在唯一的恆等映射 ( I_A )。

恆等映射 ( I_A ) 是雙射，且其逆映射 ( I^{-1}_A ) 等於自身，即 ( I^{-1}_A = I_A )。

套用：

在多項式的微分中，恆等映射的概念被用來定義微分映射，這是一個線性的操作，因為它遵循求導的運算法則。

在同倫等價和其他數學概念中，恆等映射也扮演著重要角色。例如，如果存在一個映射 ( h ) 使得 ( h \circ g = I_X )，則 ( g ) 是一個單射。

綜上所述，恆等映射是數學中的一個基本概念，它在定義、性質和套用方面都具有重要的價值。