施瓦茨不等式

施瓦茨不等式（Schwarz inequality）是一種在數學和物理學中廣泛套用的工具，特別是在處理內積空間和矩陣運算時。該不等式最初由法國數學家柯西（Augustin Louis Cauchy）在1821年提出，其積分形式在1859年被布尼亞克夫斯基提出，而積分形式的現代證明則由施瓦茲於1888年給出。施瓦茨不等式有時也被稱為柯西-施瓦茨不等式或布尼亞科夫斯基不等式。

施瓦茨不等式的標準形式如下：

對於任意兩個向量 ( x ) 和 ( y ) 在內積空間 ( H ) 中，有：

[ | \langle x, y \rangle |^2 \leq | x | | y | ]

其中，( \langle x, y \rangle ) 表示 ( x ) 和 ( y ) 的內積，( | \cdot | ) 表示向量的範數。等號成立若且唯若 ( x ) 和 ( y ) 線性相關。

施瓦茨不等式在矩陣運算中有以下套用：

在 ( m \times n ) 矩陣中，各列元素之和的幾何平均不小於各行元素的幾何平均之和。

對於兩個 ( m \times n ) 矩陣 ( A ) 和 ( B )，有：

[ \det(A^A) \det(B^B) \geq (\det(A^*B))^2 ]

其中 ( A^* ) 表示 ( A ) 的共軛轉置。

施瓦茨不等式在數學和物理的多個領域都有廣泛的套用，包括但不限於：

線性代數中的矢量運算。

數學分析中的無窮級數和乘積的積分。

機率論中的方差和協方差的計算。

施瓦茨不等式不僅是數學研究的重要內容之一，也是解決不等式證明問題的關鍵工具。