泊松定理的證明過程如下：
首先，根據大數定律，當n很大時，二項分布的樣本均值依機率收斂於其期望值。令λ=np，則當n→∞，p→0時，λ是一個常數。此時，二項分布可以近似看作均值為λ的泊松分布。
其次，根據中心極限定理，當n很大時，二項分布的標準化隨機變數的分布逼近於標準常態分配。同樣地，令λ=np，則當n→∞，p→0時，λ是一個常數。此時，我們可以利用常態分配的性質來進一步推導泊松分布的機率質量函式。
具體來說，當n→∞時，對於任意固定的k（非負整數），二項分布的機率P(X=k)可以近似看作是在k附近的連續常態分配的機率密度函式的積分。通過一系列的數學變換（如泰勒展開等），我們可以得到泊松分布的機率質量函式的近似形式。
綜上所述，泊松定理的證明過程主要基於大數定律和中心極限定理，通過數學推導得到當n很大、p很小時，二項分布可以近似看作泊松分布的結論。
需要注意的是，以上只是泊松定理證明的一種簡要概述，具體的數學推導過程可能因教材或文獻的不同而有所差異。如果需要深入了解泊松定理的證明細節，建議參考相關的數學教材或專業文獻。
此外，雖然泊松定理在理論上給出了二項分布和泊松分布之間的關係，但在實際套用中仍需要注意其適用條件和局限性。例如，當n不夠大或p不夠小時，使用泊松分布來近似二項分布可能會產生較大的誤差。因此，在具體套用中需要結合實際情況進行判斷和選擇。