柯西中值定理是微分學中的基本定理之一，是拉格朗日中值定理的推廣。該定理的具體內容如下：
如果函式\( f(x) \)和\( g(x) \)在閉區間\( [a,b] \)上連續，在開區間\( (a,b) \)上可導，且在\( (a,b) \)上\( g'(x) \)不為零，那麼存在至少一點\( ξ \)（在\( a \)和\( b \)之間），使得\( \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \)等於\( \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)。如果\( g'(ξ) \)不為零，則該式可改寫為\( f(b)-f(a) = g(b)-g(a) \cdot f'(\xi) \)。
柯西中值定理的幾何意義為，在參數方程表示的曲線上，至少有一點，其切線平行於兩端點所在的弦。此外，當\( g(x) \)取為\( x \)時，柯西中值定理便退化為拉格朗日中值定理，表明拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一個特例。
柯西中值定理在數學分析中有多種套用，包括但不限於：
函式單調性的判定。通過判斷函式導數的符號來確定函式的增減性。
計算未定型極限。特別是洛必達法則，這是一種求導數比值為未定型的極限的有效方法。
這些套用展示了柯西中值定理在微分學和實數分析中的重要性和實用性。