複分析中的一個基本定理
柯西積分公式是複分析中的一個基本定理，它表達了在一個單連通區域內解析的函式可以通過其邊界上的積分來表示。具體來說，如果函式 \( f(z) \) 在一個單連通區域 \( D \) 內解析，且 \( \partial D \) 是其邊界，那麼對於 \( D \) 內任意一點 \( z \)，我們有：
\[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi \]
這個公式揭示了解析函式的兩個重要性質：
局部性：函式在一點的取值完全由該點的一個小鄰域內的信息決定。
唯一性：如果函式在區域內解析，那麼它在該區域內任意一點的取值由該點的一個小鄰域內的邊界值唯一確定。
此外，柯西積分公式還可以用來計算函式的導數：
\[ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^{n+1}} \, d\xi \]
這個公式是留數定理的一個特例，它處理的是單極點的情況。通過這個公式，我們可以將函式在邊界上的積分轉化為計算函式在某一點的導數值。