柱面是空間中的一種曲面，由平行於固定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所生成。這些平行直線被稱為母線，而定曲線可以是柱面的準線。柱面的方程可以通過設定準線和母線，然後消去參數得到一個三元方程來表示。
柱面的方程可以通過以下方式推導：
設定準線方程 \(C\) 和母線方向向量 \((\Delta x, \Delta y, \Delta z)\)。
對於準線上任意一點 \(P_1(x_1, y_1, z_1)\)，母線族方程可以表示為 \(x - x_1 = \Delta x(t), y - y_1 = \Delta y(t), z - z_1 = \Delta z(t)\)。
將這些方程代入準線方程 \(C\) 中，消去參數 \(t\)，得到一個三元方程，這就是柱面的方程。
例如，如果準線方程是 \(x^2 + y^2 = r^2\)（表示一個圓），母線方向向量為 \((1, 0, 0)\)（表示母線平行於 \(x\) 軸），那麼柱面的方程就是 \(x^2 + y^2 = r^2\) 對於所有 \(z\) 值，表示一個圓柱面。
特殊類型的柱麵包括：
橢圓柱面：由平行於 \(z\) 軸且與橢圓相交的直線族形成。其方程可以表示為 \(Ax^2 + By^2 = r^2\)，其中 \(A\) 和 \(B\) 是常數。
雙曲柱面：由平行於 \(z\) 軸且與雙曲線相交的直線族形成。其方程可以表示為 \(x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1\) 或 \(y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1\)。
拋物柱面：由平行於 \(z\) 軸且與拋物線相交的直線族形成。其方程可以表示為 \(y^2 = 2px\) 或 \(x^2 = 2py\)。
這些方程描述了不同類型的柱面在空間中的形狀和位置。