梯度定理，也稱為線積分定理，表明在標量函式的情況下，梯度場沿任意路徑的線積分，從起點到終點，等於該函式在終點與起點的值之差。具體來說，如果有一個標量函式 \( s \) 定義在三維空間中，其梯度為 \(
abla s \)，那麼對於任意一條光滑曲線 \( C \)，該曲線的積分 \( \int_C
abla s \cdot dr \) 等於 \( s \) 在曲線起點 \( r(a) \) 和終點 \( r(b) \) 的值之差，即 \( s(r(b)) - s(r(a)) \)。這個定理表明梯度場的線積分與路徑無關，只取決於起始和終止點的函式值。這在物理學中對應於保守力或守恆力，其做功與路徑無關，僅取決於做功的起始和終止點。
梯度定理可以被看作是牛頓-萊布尼茲公式的多維擴展。牛頓-萊布尼茲公式描述了一元函式在區間 \( [a, b] \) 上的定積分等於該函式在區間端點的值之差，即 \( \int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a) \)。梯度定理則將這個概念推廣到多元函式，將導數推廣為梯度函式。在曲線光滑且每段足夠短的情況下，可以將曲線分為許多小段，每段可以近似為線段，且在該小段上梯度值近似為常數。因此，整個曲線的線積分可以近似為一系列小段線積分的和，最終得到終點與起點函式值的差。