矩陣的特徵多項式可以通過其特徵方程導出，特徵方程是方陣與其對角線元素的差值的行列式，即 \( |A - \lambda E| = 0 \)，其中 \( E \) 是單位矩陣，\( \lambda \) 是未知數，\( A \) 是 \( n \) 階方陣。這個方程是一個 \( n \) 次多項式，其左端是 \( \lambda \) 的 \( n \) 次冪，右端是係數矩陣的行列式。
對於一個對稱矩陣 \( A \)，其特徵多項式可以表示為 \( |λE - A| = (λ - \lambda_1)(λ - \lambda_2) \cdots (λ - \lambda_n) \)，其中 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) 是矩陣 \( A \) 的特徵值，且每個特徵值重複出現 \( r \) 次，其中 \( r \) 是對應特徵值重複的次數。
因此，對於一個對稱矩陣 \( A \)，其特徵多項式的係數矩陣是對稱的，且每個對角線元素的值為 \( 1 \)，其餘元素的值為 \( -1 \)。這意味著特徵多項式的所有根都是實數，且具有重數。
綜上所述，矩陣的特徵多項式可以通過其特徵方程導出，對於對稱矩陣，其特徵多項式是一個 \( n \) 次多項式，係數矩陣是對稱的，且每個對角線元素的值為 \( 1 \)，其餘元素的值為 \( -1 \)。