米迪定理是一個關於分數循環小數的數學定理，由E·米迪在1836年證明。該定理主要關注於分數在特定進制下的循環小數表示。
定理定義：
假設有質數 ( p )、正整數 ( a )（小於 ( p )）、正整數 ( b )（大於1）和正整數 ( n )。
如果分數 ( a/p ) 在 ( b ) 進制下的循環節長度是 ( 2n )，並且將這個分數用循環小數表示，則有以下結論：( a_1a_2...a_{2n} + a_{2n+1} + a_{2n+2} + ... + a_l = (b-1)k )，其中 ( k ) 是整數。
定理推廣（廣義米迪定理）：
若 ( k ) 是 ( l ) 的正因子，則 ( a_1a_2...a_k + a_{k+1}a_{k+2}...a_{2k} + ... + a_{l-k+1}a_{l-k+2}...a_{l} ) 是 ( b^k - 1 ) 的倍數。
例子：
以1/7為例，其循環小數為142857，滿足米迪定理的條件。這是因為 ( 142857 \times 7 + 1 = 999999 )，而999999可以被3和37整除，這兩個質數的倒數的循環長度為奇數。這表明，當一個質數的倒數循環長度為偶數位時，滿足米迪定理的性質。
結論：
米迪定理提供了一個關於分數循環小數表示的重要規律，特別是在特定進制下。
該定理的推廣形式提供了更一般的結論，有助於理解分數循環小數的結構。
通過例子，我們可以看到米迪定理在實際套用中的效果，尤其是在處理與質數相關的循環小數時。
通過以上分析，我們可以看到米迪定理不僅是一個理論上的數學結果，它也為我們提供了處理和分析分數循環小數的有效工具。