蝴蝶定理公式主要描述了在一個梯形中，相似三角形的面積比與邊長比的關係。具體公式和結論如下：
面積比與邊長比的關係：
相似三角形的面積比等於其對應邊長比的平方，即 \(S1:S2 = a^2:b^2\)。這裡，\(S1\) 和 \(S2\) 代表兩個相似三角形的面積，而 \(a\) 和 \(b\) 分別代表兩個三角形對應邊的長度。
面積之間的比例關係：
\(S1:S2:S3:S4 = a^2:b^2:ab:ab\)。這裡，\(S3\) 和 \(S4\) 是梯形中的兩個三角形，它們具有相同的面積，即 \(S3 = S4\)。
從 \(S1/S3 = S4/S2\) 可以推導出 \(S1 \times S2 = S3 \times S4\)，表明兩個不同來源的三角形面積乘積相等。
其他相關比例：
\(AO:OC = (S1 + S3):(S2 + S4)\)，其中 \(AO\) 和 \(OC\) 是梯形中的兩條線段，其長度比等於兩個不同來源的三角形面積和的比例。
綜上所述，蝴蝶定理公式通過一系列的比例關係，描述了在一個梯形中，相似三角形面積與邊長的關係，以及它們之間的面積比例。這些關係在幾何學中有著重要的套用，特別是在處理與梯形和三角形相關的問題時。