解析函數是指在某區域內處處可微分的複函數，這類函數也被稱爲全純函數或單演函數。它們滿足柯西-黎曼方程或條件，即實部和虛部在區域內具有連續的偏導數，並且這些偏導數滿足特定的關係。在歷史上，歐拉和達朗貝爾在研究水力學時已經發現了這一性質。柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯等人對這類函數進行了深入的研究，並證明了不同定義下的等價性。解析函數的一箇重要特性是，它們可以通過嚴格的公式求得，即解析解，這種解的形式包含分式、三角函數、指數、對數甚至無限級數等基本函數，能夠提供任何對應值的確切計算。
解析函數的微分性質包括共軛性、調和性和保角性。共軛性意味着解析函數的實部和虛部通過柯西-黎曼條件互相聯繫，不獨立。調和性指的是解析函數的實部和虛部都是調和函數。保角性則涉及到映射前後兩切線的夾角相等。此外，解析函數的積分性質包括柯西定理、柯西公式、高階導數公式和最大模定理等，這些性質進一步定義瞭解析函數的行爲和特性。