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迪尼定理

迪尼定理(Dini theorem)是一個數學定理,由義大利數學家烏利塞·迪尼提出。該定理的表述如下:

定理定義:

設 (X) 是一個緊緻的度量空間,(f_n) 是 (X) 上的一個單調遞增的連續實值函式列。

如果這個函式列逐點收斂到一個連續的函式 (f),那麼這個函式列一致收斂到 (f)。

定理適用性:

對於單調遞減的函式列,定理同樣成立。

這是少數由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一,原因在於由單調性這個更強的條件。

定理注意事項:

定理中的 (f) 一定要是連續的,否則可以構造反例。例如,在區間 () 上的函式列 ({x_n}),這是一個單調遞減函式,逐點收斂到函式 (f):當 (x) 屬於 ([0,1)) 時 (f(x)) 等於 0,(f(1)) 等於 1。但這個函式列不是一致收斂的,因為 (f) 不連續。

證明概要:

對於單調遞增的函式列,對於任意 (\varepsilon > 0),對每個 (n),設 (g_n) 為使得對於所有 (x) 有 (|f(x) - f_n(x)| < \varepsilon/2^n) 的函数。

由於 (f_n) 逐點收斂到 (f),所有 (g_n) 都連續,且每個 (g_n) 是開集。函式列 ({g_n}) 是單調遞減的,因此 (g_n) 是 (g_{n+1}) 的子集。

由於 (X) 是一個緊集,存在正整數 (N) 使得 (\bigcup_{n=1}^{N} g_n = X)。因此對所有 (n > N),對所有的 (x),都有 (|f(x) - f_n(x)| < \varepsilon),从而 ({f_n}) 一致收敛于 (f)。

迪尼定理是分析學中的一個重要結果,它展示了在特定條件下,逐點收斂可以推出一致收斂的情況。