高斯消去法（Gaussian elimination）是一種在線性代數中用於求解線性方程組的有效算法。它通過一系列的行變換，將線性方程組的係數矩陣轉換為上三角矩陣或行最簡形式，然後通過回代過程求解方程組的解。
高斯消去法的基本步驟包括：
構建增廣矩陣。將線性方程組的係數矩陣和常數向量合併形成增廣矩陣。
主元選取。從第一行開始，選取一個非零元素作為主元，通常選擇第一個非零元素，然後通過行變換將該主元下方的所有元素化為零。
行變換。將主元下方的元素通過行變換化為零，使得主元所在的列下方的元素都為零。
重複步驟2和步驟3。從第二行開始，重複選取主元和行變換的步驟，直到將矩陣化為上三角形式。
回代求解。從最後一行開始，通過回代求解每個變數的值。具體做法是，將求解的變數代入到上一行的方程中，依次回代求解每個變數的值。
高斯消去法的一些變種包括：
部分主元高斯消去法。在每次消元前，先找出當前行下所有元素中絕對值最大的非零元素作為主元，進行行交換，以減小引入的誤差。
完全主元高斯消去法。從矩陣的右下角開始，選取一個元素作為主元，並進行行交換，以保證算法的穩定性。
需要注意的是，高斯消去法在實際套用中可能面臨一些特殊情況，比如主元為零或者存在無解的情況，需要進行額外的處理。此外，雖然高斯消去法是一種基礎的求解線性方程組的方法，在數值計算和工程套用中廣泛使用，但還存在其他更高效的算法和技術來求解線性方程組，如LU分解、疊代法等。因此，在選擇求解線性方程組的方法時，需要根據具體問題的性質和規模來進行選擇。