自相關函式和偏自相關函式
ACF和PACF是時間序列分析中的兩個重要概念，它們分別代表自相關函式和偏自相關函式。
自相關函式（ACF）：
定義：ACF衡量的是時間序列與其滯後版本之間的相關性。
公式：(R(k) = \frac{Cov(X_t, X_{t+k})}{Var(X_t)})，其中(Cov(X_t, X_{t+k}))是(X_t)和(X_{t+k})的協方差，(Var(X_t))是(X_t)的方差，(k)是滯後（lag）。
作用：ACF用於描述序列當前值與其過去值之間的關係程度，有助於確定是否適合使用移動平均（MA）模型。
偏自相關函式（PACF）：
定義：PACF衡量的是時間序列與其滯後之間的相關性，但在消除了已經由介入觀察解釋的變化之後。
公式：(PACF(k) = Corr(X_t - \hat{X}t, X{t+k} - \hat{X}{t+k}))，其中(\hat{X}t)和(\hat{X}{t+k})分別是(X_t)和(X{t+k})的預測值，基於(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, X_{t-k+1})的線性回歸。
作用：PACF有助於確定自回歸（AR）模型的階數，因為它「減去」了已經由早期滯後解釋的相關性。
區別：
ACF測量變數與其滯後之間相關性的累積效應，而PACF僅測量直接效應。
ACF能夠處理變數與其滯後之間的共線性，但PACF不能。
在AR模型中，ACF通常會顯示出指數衰減，而在MA模型中，會有明顯的截止。另一方面，PACF在AR模型中會顯示出明顯的截止，而在MA模型中，會有指數衰減。
ACF總是一個完全的相關結構，而PACF可以看作是部分相關結構。
通過ACF和PACF圖，我們可以分析時間序列的自相關性和偏自相關性，從而為建立時間序列模型提供依據。