偏微分方程（PDE）是一種數學方程，它描述了包含多個變數的函式之間的關係，這些變數通常是空間和時間。PDE在物理、工程、金融等多個領域有著廣泛的套用，特別是在描述物理系統的行為時。PDE可以是對物理現象的精確描述，如波動方程和熱方程，也可以是更複雜的模型，如Navier-Stokes方程，後者在流體力學中非常重要。
PDE的基本形式為：
[ A\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + B\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + C\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + D\frac{\partial f}{\partial x} + E\frac{\partial f}{\partial y} + Ff + G = 0 ]
根據係數(B^2 - 4AC)的值的正負，可以將二階線性PDE分為三種類型：
當(B^2 - 4AC < 0)时，为椭圆型PDE。
當(B^2 - 4AC = 0)時，為拋物型PDE。
當(B^2 - 4AC > 0)時，為雙曲型PDE。
PDE的求解通常有兩種方法：
解析解：通過簡化模型或利用已知的數學技巧求得精確解。這種方法要求PDE具有簡單的形式或特定的邊界條件。
數值解：對於複雜的PDE或那些沒有已知解析解的情況，可以採用數值方法進行求解。數值方法通常涉及將連續的時空域離散化為格線，並使用差分方程來近似微分方程。這種方法可以給出PDE在特定格線點上的近似解。
在機器學習和數據科學的領域，PDE的數值解法得到了進一步的發展，通過將微分運算元（如Laplace運算元）視為「權重」，並利用大量的數據來訓練模型，從而模擬PDE的行為。這種方法為解決高維、非線性的PDE問題提供了新的思路。