交比定理是射影幾何中的一個基本概念，它描述了四個共線點和一個直線外一點之間的幾何關係。具體來說，如果點A, B, C, D是同一直線上依序四點，P是直線外一點，那麼有以下關係成立：
\[ \frac{\sin APC \cdot \sin BPD}{\sin BPC \cdot \sin APD} = \frac{AC \cdot BD}{BC \cdot AD} \]
這裡的交比是一個重要的概念，它定義為給定四個點A、B、C、D的交比為：
\[ (A,B;C,D) = \frac{AB \cdot CD}{AC \cdot BD} \]
這個比值被稱為交叉比值或簡稱交比。交比定理表明，在射影變換下，交比保持不變。這意味著，如果E是射影中心，直線m上的點A、B、C、D與E的連線交直線n於A'、B'、C'、D'，那麼：
\[ (A,B;C,D) = (A',B';C',D') \]
交比也稱為非調和比，它是分式線性變換下的一個不變數。在分式線性變換下，任意四點的交比保持不變。這意味著，如果我們對這四個點進行分式線性變換，交比的值不會改變。
交比的概念可以追溯到古代，例如門內勞斯在《球面學》中提到的球面上大圓弧相交的性質，以及帕波斯在《數學彙編》中闡述的截線交比不變性。到了19世紀，施泰納、施陶特等數學家將交比作為射影幾何理論的基本工具，證明了共線點的交比在射影變換下不變的特性。