公理和定理是數學和其他科學領域中的基本概念，它們都是正確的命題或原理，但有著不同的來源和性質。
公理是指那些被廣泛接受且不需要進一步證明的基本命題或原理。它們通常基於人類的長期實踐和普遍認同，被視為不證自明的基本事實。公理是理論體系的基礎，它們規定了理論中最基本的概念之間的關係，並且不需要任何事實和經驗的支持，只要在邏輯上沒有矛盾即可。公理是不能被推導出來的，因為它們是最基本的東西，而是用來推導出其他的命題和定理。
定理則是通過邏輯推理和證明得到的真命題。它們是從公理或其他已被證明的定理出發，經過受邏輯限制的演繹推導，證明為正確的結論。定理需要經過嚴格的證明過程，以確保它們的正確性，然後才能作為原則或規律使用。
總結來說，公理是不需要證明的，而定理是需要經過證明的。公理是理論體系的基礎，而定理是由公理推導出來的正確命題。