和角公式的證明可以通過多種方法進行，這裡提供兩種證明方法。
幾何法證明：
設定∠AOB = α, ∠AOP = β, |OP| = 1。
根據向量分解，可以表示向量OM為向量OA和向量AP的線性組合，即OM = OA + AP。
在△AOB中，OB = OA·cos α。在△APC中，CP = AP·sin∠CAP，且∠CAP = α。因此，CP = AP·sinα。
結合上述信息，OM = OA·cos α + AP·sinα。
在△AOP中，OA = cosβ·OP = cosβ，AP = sinβ·OP = sinβ。因此，cos(α-β) = cosβ·cos α + sinβ·sinα。
向量法證明：
設直角坐標平面中有單位圓O，點P和點Q分別是圓上兩點，P(cosb,sinb)，Q(cosa,sina)。
向量PQ=(cosa-cosb,sina-sinb)。向量PQ的模的平方|PQ|²=(cosa-cosb)²+(sina-sinb)²=2-2(cosacosb+sinasinb)。
根據餘弦定理，|PQ|²=|PO|²+|QO|²-2|PO||QO|cos(b-a)=2-2cos(b-a)。
因此，2-2cos(b-a)=2-2(cosacosb+sinasinb)，所以cos(b-a)=cosacosb+sinasinb。
同樣可以證明cos(b+a)=cosacosb-sinasinb。
通過誘導公式，可以得出正弦的和角公式。
相除，得出正切和餘切的公式。