四元數是由愛爾蘭數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年發現的數學概念。它們是複數的一種推廣，由一個實部和三個虛部組成，這三個虛部分別是i、j和k。四元數的一般形式可以表示為a + bi + cj + dk，其中a、b、c、d是實數。
四元數的乘法不遵守交換律，這是它們與複數的一個主要區別。由於這個特性，四元數在幾何和物理中有許多套用，尤其是在描述三維空間中的旋轉時。在計算機圖形學和三維計算機視覺領域，四元數被廣泛用於表示和分析旋轉，因為它們比矩陣更緊湊，且在插值和運算上更高效。
四元數的虛數單位i、j和k滿足i² = j² = k² = -1的關係，與複數的虛數單位i（i² = -1）相似。這些單位也滿足特定的乘積關係，如ij = k，ji = -k，這表明四元數的乘法是非交換的。
四元數的套用不僅限於數學和工程領域，它們還在量子力學中扮演著重要角色，用於描述和理解粒子在三維空間中的波函式。四元數的這種套用源於它們能夠有效地表示和操作三維空間中的旋轉，這與量子力學中粒子態的演化相似。
總的來說，四元數是一種強大的數學工具，它們通過提供比傳統方法更高效的方式來處理三維空間中的旋轉和變換，已經在多個領域中得到了廣泛的套用。