拉格朗日插值法是一種數學方法，用於在已知的數據點（離散數據）之間插入數據，以生成連續的函式曲線。這種方法可以用於確定一個未知數據點的值，並簡化複雜的數學計算過程。拉格朗日插值法基於拉格朗日函式的思想，用於通過已知數據點的插值多項式求解未知數據點的值。
拉格朗日插值法的原理是構造一個多項式，該多項式恰好通過給定的數據點。具體來說，假設有一組已知的數據點( (x_i, y_i) )，其中( i = 0, 1, \ldots, n )，拉格朗日插值法目標是找到一個n次多項式( L(x) )，該多項式滿足( L(x_i) = y_i )對於所有的( i )。
拉格朗日插值多項式( L(x) )可以表示為基函式的線性組合，這些基函式是根據拉格朗基函式定義的。對於每個數據點( x_i )，都有一個相應的基函式( l_i(x) )，定義為
[ l_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \ j
eq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j} ]
這樣，拉格朗日插值多項式可以寫作
[ L(x) = \sum_{i=0}^n y_i l_i(x) ]
當( x )取值為某個特定的( x_i )時，除了對應的基函式外，其他所有基函式都為零，因此( L(x_i) = y_i )，滿足插值條件。
拉格朗日插值法的套用非常廣泛，包括但不限於數值分析、機器學習、科學計算等領域。它可以幫助找到一個函式，該函式經過給定的離散數據點，從而對未知數據進行預測或估計。