柯西加性方程是一類函式方程，其一般形式為 \( f(x+y) = f(x) + f(y) \)，這類方程由柯西最早進行研究。滿足這種方程的函式被稱為加性柯西方程，其解通常是正比例函式。柯西加性方程可以擴展到其他形式，但大多數情況下都可以通過轉化為加性柯西方程來求解。
對於加性柯西方程，我們可以從最簡單的有理數部分開始分析。例如，當 \( y = 0 \) 時，有 \( f(0) = 0 \)；當 \( y = -x \) 時，得到 \( f(x) = -f(-x) \)。進一步歸納，可以得到 \( f(nx) = nf(x) \)，其中 \( n \in \mathbb{Z} \)。因此，對於任意有理數 \( x \)，方程的解可以表示為 \( f(x) = f(1)x \)。
為了討論方程在任意實數上成立的條件，我們需要對函式施加一些額外的限制。首先，函式需要是連續的。對於任意無理數 \( a \)，可以構造一個有理數序列 \( \{q_n\} \)，使得 \( \lim_{n \to \infty} q_n = a \)。由於函式是連續的，我們有 \( f(a) = f(\lim_{n \to \infty} q_n) = \lim_{n \to \infty} f(q_n) = \lim_{n \to \infty} f(1)q_n = f(1)a \)。此外，如果函式在某個區間上局部有界，那麼可以通過類似的推理證明方程在該區間上成立。