複分析中的一個重要概念
柯西-黎曼方程是複分析中的一個重要概念，它提供了可微函式在開集中為全純函式的充要條件。這些條件可以表述為兩個偏微分方程，它們以柯西和黎曼的名字命名。柯西-黎曼方程可以寫成複數形式，這些形式對應於雅可比矩陣結構，幾何上表示旋轉和縮放的複合，因此保持角度不變，即保持共形（保角）。滿足柯西-黎曼方程的函式保持平面曲線的角度不變，這是函式成為共形映射的條件。此外，柯西-黎曼方程也是函式復可微性（或稱全純性）的充要條件。如果函式f在複平面上的某點z0的實部和虛部對x和y的偏導數存在，並且滿足柯西-黎曼方程，那麼f在z0處是全純的。反過來，如果f作為映射到R2上的函式可微，那麼f復可微若且唯若柯西-黎曼方程成立。