牛頓插值法是一種數學上用於插值和逼近的算法，它使用差商（divided differences）來構建插值多項式。牛頓插值多項式的一般形式為：
[ N_n(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + \cdots + a_n(x - x_0)(x - x_1) \cdots (x - x_{n-1}) ]
其中，( a_k ) 是根據差商計算得出的係數，( x_0, x_1, \ldots, x_n ) 是已知的數據點。差商可以通過遞推公式計算，例如：
零階差商：( f[x_k] = f(x_k) )
一階差商：( f[x_k, x_{k-1}] = \frac{f[x_k] - f[x_{k-1}]}{x_k - x_{k-1}} )
高階差商：( f[x_{k-j}, x_{k-j+1}, \ldots, x_k] = \frac{f[x_{k-j+1}, \ldots, x_k] - f[x_{k-j}, \ldots, x_{k-1}]}{x_k - x_{k-j}} )
牛頓插值多項式的係數 ( a_k ) 可以通過以下遞推公式計算：
[ a_k = \frac{f[x_0, x_1, \ldots, x_k]}{f[x_0, x_1, \ldots, x_{k-1}]} ]
其中 ( f[x_0, x_1, \ldots, x_k] ) 表示函式 ( f(x) ) 在點 ( x_0, x_1, \ldots, x_k ) 處的 ( k ) 階差商。
牛頓插值法的一個優點是，當增加新的數據點時，只需要計算新的差商和係數，而不需要重新計算所有的差商和係數，這使得牛頓插值法在處理大量數據點時比拉格朗日插值法更加高效。此外，牛頓插值法在計算過程中可以節省乘除法運算次數，並且與數值計算的其他方面有密切的關係。