瑞利商定理，也稱為瑞利原理，是英國物理學家約翰·瑞利於1873年提出的一個原理，主要用於計算振動系統的固有頻率近似值，特別是最小固有頻率（基頻）的上界。這一原理是振動理論中的極值原理以及計算固有頻率和振型的基礎，被廣泛套用於物理和數學領域的理論分析和數值計算技術中。
瑞利商定義為R=Vmax/Tmax，其中Vmax和Tmax分別代表系統的最大勢能和最大動能。當系統在穩定平衡位置附近振動時，瑞利商可以表達為R(A,x)=xHAxxHx，其中x是非零向量，A是Hermitian矩陣。瑞利原理指出，當x取某階固有振型時，瑞利商取得駐值，該值即為對應階固有角頻率的平方。特別地，當x取對應於基頻的振型時，瑞利商取得最小值，該值即為基頻的平方。
瑞利原理的套用之一是瑞利-里茲法，這是一種用於計算振動系統的固有頻率和振型的近似值的方法。該方法將可能位移表示為若幹個給定函式的線性組合，從而使瑞利商成為這些組合係數的函式。通過解這個函式的特徵值問題，可以得到固有頻率的近似值及其對應的振型。特別地，如果可能位移只用一個給定函式近似表達，就得到了簡化形式的瑞利法，這種方法在計算基頻的上界時非常簡便有效。
此外，瑞利商和瑞利原理的套用不僅限於振動理論。例如，在光線入射到不均勻介質時產生的散射現象中，瑞利提出了著名的瑞利散射公式，該公式描述了散射光強度與入射光頻率之間的關係。
總的來說，瑞利商定理是一個強大的工具，它不僅在振動分析中有廣泛套用，也在其他多個領域中發揮著重要作用。