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皮亞諾定理

皮亞諾公理,也稱為皮亞諾算術公理,是一組用於定義自然數集合的公理。這些公理最初由義大利數學家皮亞諾在1889年提出,目的是為了定義自然數集合及其基本運算性質。皮亞諾公理系統共有九條公理,其中四條關於「相等」的公理後來被皮亞諾本人去除,並且將0作為基本概念,從而形成了沿用至今的皮亞諾算術公理系統。

這五條基本的皮亞諾公理可以非形式化地描述如下:

0是自然數。

每一個確定的自然數a,都具有確定的後繼數a',a'也是自然數。例如,1'=2,2'=3等。

0不是任何自然數的後繼數。

不同的自然數有不同的後繼數,如果自然數b、c的後繼數都是自然數a,那麼b=c。

歸納公理:設S⊆N,且滿足兩個條件(i)0∈S;(ii)如果n∈S,那麼n'∈S。則S是包含全體自然數的集合,即S=N。這條公理也稱為歸納公理,保證了數學歸納法的正確性。

這些公理定義了自然數的集合及其基本性質,為算術的研究提供了堅實的基礎。特別是第五條公理,它確保了所有自然數的存在性,並且可以通過數學歸納法來證明任何關於自然數的性質。