秦九韶算法是一種用於多項式求值的算法，由中國明代數學家秦九韶所創。該算法通過不斷累乘和累加來減少求多項式值的運算次數，具有較高的效率和實用性。
具體來說，假設要計算多項式 \( P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_n x^n \) 在 \( x = k \) 處的值，可以使用傳統的暴力方法直接計算，需要進行 \( \frac{n(n+1)}{2} \) 次乘法和 \( n \) 次加法運算。使用秦九韶算法可以將計算次數降為 \( n \) 次乘法和 \( n \) 次加法，從而提高計算效率。
秦九韶算法的原理是利用分配律和結合律，將多項式按照 \( x \) 的冪次從高到低依次分解為一系列的一次式相乘，然後再依次計算每個一次式的值，最後得到多項式的值。具體步驟如下：
初始化一個變數 \( sum = a_n \)。
從 \( n-1 \) 開始，依次執行以下操作：
將 \( sum \) 乘以 \( x \) 的值。
將得到的積加上 \( a_i \)。
得到最終結果 \( sum \)，即為多項式 \( P(x) \) 在 \( x = k \) 處的值。
例如，對於多項式 \( P(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 \)，在 \( x = 2 \) 處求值，可以使用秦九韶算法計算得到結果 \( 49 \)。
秦九韶算法的優點在於它能夠通過重複使用前一次的乘積結果來減少乘法運算的次數，從而提高了計算效率。在人工計算時，這種算法大大簡化了運算過程。