範德蒙德恆等式是一個組合數學中的基本恆等式，它描述了從兩個集合中選取元素的組合數與從這兩個集合合併後的集合中選取元素的組合數之間的關係。具體來說，範德蒙德恆等式的標準形式是：
\[ \sum_{i=0}^n C_m^i C_n^{k-i} = C_{m+n}^k \]
這個恆等式可以用於證明組合數學中的其他恆等式，並且可以通過生成函式的方法來證明。生成函式 \( g(x) = (1+x)^n \) 的 \( k \) 次項的係數是 \( C_n^k \)，而 \( g(x) \) 的 \( k \) 次項係數也可以表示為 \( C_m^k \) 和 \( C_n^k \) 的卷積，即 \( \sum_{i=0}^k C_m^i C_n^{k-i} \)。這兩個表示是相等的，因此證明了範德蒙德恆等式。
此外，範德蒙德恆等式還可以推廣到更一般的情況，例如當 \( a, b \geq n \) 時，有：
\[ (a+b)^n = \sum_{i=0}^n (a^i)(b^{n-i}) \]
這個推廣的恆等式可以通過組合數學的方法來證明，也可以通過生成函式的方法來證明。
綜上所述，範德蒙德恆等式是一個重要的組合數學恆等式，它可以通過生成函式的方法來證明，並且可以推廣到更一般的情況。