要證明根號a乘以根號b等於根號ab，我們可以按照以下步驟進行推導：
基本指數法則：根據指數運算的基本法則，我們有 \(a^x \cdot b^x = (ab)^x\)。特別地，當x為正數時，這個法則成立。
套用指數法則：將x取為1/2，我們得到 \(a^{1/2} \cdot b^{1/2} = (ab)^{1/2}\)。
簡化表達式：由於 \(a^{1/2}\) 和 \(b^{1/2}\) 分別是a和b的算術平方根，我們可以將上述表達式簡化為 \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)。
考慮特殊情況：當a或b（或兩者）為0時，等式顯然成立。當a和b都大於0時，我們可以直接計算 \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) 和 \(\sqrt{ab}\)，它們都等於 \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)。
對數證明：如果需要更嚴謹的證明，可以使用對數的方法。對數的基本性質是 \(\log(m \cdot n) = \log m + \log n\)。因此，對於任意實數a和b，我們有：
\(\log(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}) = \log(\sqrt{a}) + \log(\sqrt{b}) = \frac{1}{2} \log a + \frac{1}{2} \log b = \frac{1}{2} (\log a + \log b)\)
同時，\(\log(\sqrt{ab}) = \frac{1}{2} \log(ab) = \frac{1}{2} (\log a + \log b)\)
由於兩邊對數值相等，根據對數的唯一性，我們可以得出原等式成立。
綜上所述，我們證明了根號a乘以根號b等於根號ab。