LU分解是線性代數中一種重要的矩陣分解方法，它可以將一個方陣分解為一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積。這種分解通常用於解決線性方程組、計算行列式以及求解矩陣的逆。
在LU分解中，給定一個n階方陣A，目標是找到一個n階下三角矩陣L和一個n階上三角矩陣U，使得A=LU。這種分解是高斯消元法的一種表達形式。
LU分解的步驟如下：
初始化：令L為n階單位矩陣，U為與A相同的矩陣。
高斯消元：通過高斯消元法將U化為上三角矩陣的同時，記錄每一步的消元係數，並將其存儲在L的對應位置。
消元步驟：對於每一列j，執行以下操作；對於每一行i，執行以下操作：計算消元係數(m_{ij} = U_{ij} / U_{jj})；使用消元係數(m_{ij})更新U的第i行。
完成分解：經過上述步驟，U已經變為上三角矩陣，L為下三角矩陣，滿足A=LU。
需要注意的是，LU分解不是對所有矩陣都存在的。如果在消元過程中出現主對角線元素為零的情況，LU分解將失敗。為了解決這個問題，可以使用行交換操作（部分主元消去法）或列交換操作（完全主元消去法）。