伯努利不等式是一 種在 實 數 範圍 內的重要不等式，以瑞士 數 學家雅各 布·伯努利命名。它的一般形式是：如果 \( x > -1 \) 且 \( n \) 是正整 數，那 麼 \( (1+x)^n \geq 1+nx \)。 這 個不等式的含 義是， 對於任何大 於-1的 實 數 \( x \) 和任何正整 數 \( n \)，\( (1+x) \) 的 \( n \) 次方 總是大 於或 等於 1 加 \( n \) 乘以 \( x \)。伯努利不等式在 機率 論、 數 學分析、 最佳化理 論等 許多 數 學 領域都有 套用，例如，它可以用 來 證明 實 數的一些基本性 質，如 實 數的 連 續性和 實 數的完 備性，也可以用 來 證明一些更 複雜的 數 學理 論，如泰勒 級 數的收 斂性等。
伯努利不等式的另 一個表述是： 對任意整 數 \( n \geq 0 \)，和任意 實 數 \( x > -1 \)，有 \( (1+x)^n \geq 1+nx \) 成立。如果 \( n \geq 0 \) 是偶 數， 則不等式 對任意 實 數 \( x \) 成立。在 \( n = 0,1 \)，或 \( x = 0 \) 時等 號成立，而 對任意正整 數 \( n \geq 2 \) 和任意 實 數 \( x \geq -1, x
eq 0 \)，有 嚴格不等式：\( (1+x)^n > 1+nx \)。伯努利不等式 經常用作 證明其他不等式的 關 鍵步 驟。
此外，伯努利不等式 還可以推 廣到 實 數 冪形式：若 \( r \leq 0 \) 或 \( r \geq 1 \)，有 \( (1+x)^r \geq 1 + rx \)；若 \( 0 \leq r \leq 1 \)，有 \( (1+x)^r \leq 1 + rx \)。 這 個不等式可以直接通 過微分 進行 證明。