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夾擠定理證明

夾逼定理的證明主要基於極限的不等式性質。具體步驟如下:

設定極限:設 ( \lim_{{x \to x_0}} g(x) = a ) 和 ( \lim_{{x \to x_0}} h(x) = b )。

不等式性質:如果存在 ( \delta > 0 ),當 ( 0 < |x - x_0| < \delta ) 时,有 ( g(x) \leq h(x) )(或 ( g(x) < h(x) )),则 ( a \leq b )。

夾逼定理的前提條件:滿足夾逼定理的前提條件是 ( g(x) < f(x) < h(x) ),且 ( \lim_{{x \to x_0}} g(x) = \lim_{{x \to x_0}} h(x) = A )。

等號的必要性:根據不等式性質,即使只是 ( g(x) < h(x) ),也可能存在 ( a = b )。因此,夹逼定理的不等式的等号不是必要的,也就是说可以省略。

綜上所述,夾逼定理的證明不需要不等式中的等號,這是因為極限的不等式性質允許在特定條件下,即使函式值之間存在嚴格的不等關係,它們的極限值也可能相等。