柯西不等式的證明方法有多種，以下是幾種常見的證明方法：
二次函數法：柯西不等式可以類比於二次方程的判別式Δ=b^2-4ac。可以構造一箇二次函數f(x)=Σ(a_ix+b_i)^2，這個二次函數恆大於等於0，因此其判別式Δ恆小於等於0，從而得到柯西不等式。
向量內積法：將向量x→和y→的點乘x→⋅y→與向量模的積的關係應用到柯西不等式中，可以得到(a_1b_1+a_2b_2+⋯+anbn)^2≤(a_1^2+a_2^2+⋯+an^2)(b_1^2+b_2^2+⋯+bn^2)，這種方法直觀且易於記憶。
數學歸納法：當n=2時，柯西不等式化爲(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)≥(a_1b_1+a_2b_2)^2。假設當n=k時柯西不等式成立，那麼當n=k+1時，也可以證明柯西不等式成立。
作差法：通過作差並配平方的方法，可以得到柯西不等式。
以上各種方法都可以證明柯西不等式，具體使用哪種方法取決於問題的具體情況和個人偏好。