柯西-黎曼方程是複分析中的一個重要概念，它提供了函式在開集上全純的充要條件。這些方程以柯西和黎曼的名字命名，因為它們是在他們的理論中使用的。
柯西-黎曼方程是一組偏微分方程，具體形式為：
∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
這兩個方程描述了函式在一點可微的必要條件。如果函式在區域D內解析，那麼它在D內處處滿足這兩個方程。這些方程也適用於函式f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，其中u和v是實值函式。
此外，柯西-黎曼方程可以表示為：
∂u/∂r = 1/r ∂v/∂θ
∂v/∂r = -1/r ∂u/∂θ
這些方程在極坐標系中描述了函式在一點可微的條件。