留數是複變函數論中的一箇核心概念，主要用於處理和簡化包含奇點的複變函數積分問題。它定義爲解析函數沿着某一圓環域內包圍某一孤立奇點的任一正向簡單閉曲線的積分值除以2πi。在數值上，留數等於解析函數的洛朗展開式中負一次冪項的係數。根據孤立奇點的類型，採用不同的留數計算方法。留數在計算某些特殊類型的實積分時非常有用，可以大大簡化計算過程。留數的概念不僅限於直接計算積分，還可以通過已知的留數來推斷對應的積分值。留數的定義可以總結爲：設z0爲f(z)的孤立奇點，在z0的去心鄰域內f(z)解析，γ爲該域內包含的任一正向簡單閉曲線，則稱∮f(z)dz/2πi爲f(z)在z0的留數，記作Res[f(z),z0]。