三 維坐 標 轉 換公式通常涉及平移、旋 轉和尺度 變 換。一 種常 見的形式是：
\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Delta X \\ \Delta Y \\ \Delta Z \end{bmatrix} + (1 + \lambda) \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + \lambda xyz \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]
這裡，\( \Delta X, \Delta Y, \Delta Z \) 是平移量，\( \lambda \) 是尺度因子，\( x, y, z \) 是原始坐 標，\( x', y', z' \) 是 轉 換 後的坐 標。 該公式考 慮了尺度的 變化以及坐 標之 間的非 線性 關係。
另一 種形式是使用旋 轉矩 陣 \( R \) 來表示坐 標旋 轉，其中 \( R \) 可以分解 為 三個基本的旋 轉矩 陣，分 別 繞 \( X, Y, Z \) 軸旋 轉：
\[ R = R_3 R_2 R_1 \]
這裡，\( R_1, R_2, R_3 \) 分 別 對 應 於 繞 \( Z, X, Y \) 軸的旋 轉。
此外， 布 爾莎公式是一 種常用的三 維坐 標 轉 換公式，它 包括了平移向量 \( \Delta X_0, \Delta Y_0, \Delta Z_0 \)，尺度 變化 係數 \( dK \)，以及旋 轉矩 陣 \( R(e) \)：
\[ XT = \Delta X_0 + (1 + dK) R(e) X \]
這裡，\( XT \) 是 轉 換 後的坐 標，\( X \) 是原始坐 標，\( R(e) \) 是旋 轉矩 陣，\( dK \) 是尺度 變化 係數。
請注意， 這些公式可能需要根 據具 體的 套用 場景和 數 據 進行 適 當的 調整和 簡化。