主 對角 線上的元素
三角矩 陣的 特徵值是其主 對角 線上的元素。 這一 結 論可以通 過以下步 驟 證明：
特徵值的定 義：如果λ是三角矩 陣A的 特徵值，那 麼存在 一個非零向量v，使得A·v = λ·v。 這意味 著(A - λI)·v = 0，其中I是 單位矩 陣。
行列式 為零： 由於(A - λI)·v = 0，其行列式 必須 為零，以 確保存在非平凡解。
三角矩 陣的特殊性： 對於三角矩 陣，其行列式 等於主 對角 線上元素的乘 積。 這是因 為除了 對角 線上的元素外，其他元素的代 數 餘子式均 為零，因此在 計算行列式 時，只有 對角 線上的元素有 貢 獻。
特徵值的 確立：如果(A - λI)的行列式 為零，那 麼其主 對角 線上的元素的乘 積 必須 為零。 這意味 著 特徵值λ 必須 等於主 對角 線上的某 個元素。
需要注意的是， 這 個 結 論 僅 適 用於三角矩 陣。 對於一般的矩 陣，其 特徵值不一定是 對角 線上的元素。此外，即使 對於三角矩 陣，其 特徵向量也不一定是唯一的。如果v是三角矩 陣A的 特徵向量，那 麼任何常 數乘以v也是A的 特徵向量。