傅立葉級數的證明可以通過多種方法進行，以下是三種不同的證明方法：
對f(x)=x^2在[-π,π]上進行展開。由於f(x)是偶函式，其中bn=0。通過分部積分計算an和bn，當n=0時，a0需要單獨計算。通過這種方式，可以得出∑1/n^2=π^2/6。
對f(x)=|x|在[-π,π)上進行展開。這個函式也是偶函式，因此bn=0。同樣，a0需要單獨計算。通過這種方式，可以得出∑1/(2n-1)^2=π^2/8，進一步得出∑1/n^2=π^2/6。
對f(x)=x在(-π,π)上進行展開。這種方法與第二種類似，但此時an=0。然後可以利用帕塞瓦爾定理來完成證明。
以上各種方法的最終結果是一致的，證明了傅立葉級數的正確性。