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分式域

分式域是一個數學概念,具體定義和構造方法如下:

定義:

設 \(K\) 是一個域,\(D\) 是 \(K\) 的一個子環。如果 \(K\) 中包含 \(D\) 的最小的域是由 \(D\) 生成的,記作 \(Q(D)\),則 \(Q(D)\) 稱為由 \(D\) 生成的域。

構造方法:

假設在域 \(F\) 中包含一個子環 \(D\),它包含 \(F\) 的單位元。由於 \(F\) 中無零因子,\(D\) 一定是一個整環。

當 \(D
eq \emptyset\) 時,\(Q(D)\) 一定是 \(F\) 中的元。又若 \(D
eq \{0\}\),則顯然有 \(Q(D)
eq \{0\}\)。因此,\(F\) 一定包含 \(D\) 的分式域。

定理:

一個整環 \(D\) 的分式域 \(Q(D)\) 是包含 \(D\) 的最小域。

註:

交換的無零因子環也存在分式域,即不要求該環有單位元。

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