多元高斯分布

多元高斯分布是一種機率分布，用於描述多個隨機變數之間的聯合機率。它的機率密度函式由均值向量和協方差矩陣確定。具體來說，多元高斯分布可以表示為：

\[ f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2} |\Sigma|^{1/2}} \exp\left( -\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{u})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{u}) \right) \]

均值向量：表示分布的期望值，是一個包含所有隨機變數期望的向量。

協方差矩陣：描述隨機變數之間的協方差，是一個方陣，其元素表示兩兩隨機變數之間的協方差。

多元高斯分布具有以下性質：

中心極限定理：在一定的條件下，多個隨機變數的和趨向於高斯分布。

幾何形式：高斯分布可以通過馬氏距離（Mahalanobis distance）在多維空間中表示，當協方差矩陣為單位矩陣時，變為歐式距離。

條件分布：多元高斯分布的條件分布仍然是多元高斯分布，表明它可以描述複雜的數據關係。

多元高斯分布在統計學、機器學習和模式識別等領域有廣泛套用，例如在主成分分析（PCA）、線性判別分析（LDA）和機率圖模型中。