明朝首輔大臣的對聯故事有很多，以下是根據要求提供的幾個：
1. 嚴嵩與海瑞的對聯：海瑞是明朝嘉靖年間的進士，曾當過明朝的監察御史和吏部尚書。嚴嵩是明朝隆慶和萬曆年間的首輔大臣，他擅長書法，對聯是他的拿手好戲。他聽說海瑞要來他家時，他準備了一副對聯來試探海瑞。上聯是“宰相必起家何用讀書為”，下聯是“若非此道傳天子”，意思很明顯，就是暗示海瑞，做官要靠他，不要多管閒事。然而，海瑞卻以牙還牙，寫了一副對聯“為善讀書豈不善，若非讀書不為官”。
2. 徐階與嚴嵩的對聯：徐階與嚴嵩都是明朝的首輔大臣，兩人有恩怨。有一年除夕，嚴嵩為了討好皇帝，給徐階送去了一副春聯：“家富長宜讀三禮，春來福喜到萬花。”意思就是嘲諷徐階家有錢，但學問卻不如他。徐階見狀，不甘示弱，提筆在春聯上加了兩句詩詞：“天增歲月人增壽，春滿乾坤福滿樓。”這一下，嚴嵩就無話可說了。
這些故事都說明了明朝首輔大臣之間的智斗和才情。