數學的一箇分支學科
微分幾何是數學的一箇分支學科，它主要運用微積分的理論來研究空間的幾何性質。這個分支學科的研究對象包括三維空間中的曲線和曲面，以及更一般的空間——流形。微分幾何與拓撲學等其他數學分支有緊密的聯繫，並且對物理學的發展產生了重要影響，例如愛因斯坦的廣義相對論就是以微分幾何中的黎曼幾何作爲其重要的數學基礎。
微分幾何學通過分析方法來研究空間（微分流形）的幾何性質，包括三維歐幾里得空間中的曲線、曲面等圖形的性質。這種方法與微積分學幾乎同時起源於17世紀。
在微分幾何中，曲線和曲面在點上的性質是通過解析幾何來表達的，即將曲線和曲面表達爲代數方程或函數形式。這樣，幾何上的曲線和曲面在充分小的情況下可以歸結爲一箇點，其性質就可以由導數來表達，並以此作爲基礎進行分析。例如，任意曲線上的過點切線都可以通過研究導數的性質來反映，而一階導數和二階導數的正負號可以用來確定函數的增減和判斷函數圖像的彎曲方向。
流形是微分幾何中一箇重要的概念，它認爲曲線和曲面在十分微小的局部上等價於歐幾里得空間，但在整體上會千變萬化。微分幾何的研究對象不僅限於傳統的歐氏幾何圖形，而是更廣泛地探索更一般的空間性質。
總的來說，微分幾何是一箇研究曲線、曲面以及更一般空間性質的數學分支，它不僅在數學領域有着廣泛的應用，也對物理學和其他自然科學領域產生了深遠的影響。