裴蜀定理（也稱為貝祖定理）是一個關於最大公約數的定理，具體內容如下：
對於任意整數a和b，以及它們的最大公約數d，存在整數x和y，使得ax+by=d。這意味著ax+by總是d的倍數。
特別地，如果a和b互質（即它們的最大公約數為1），那麼存在整數x和y，使得ax+by=1。這是裴蜀定理的一個直接推論。
證明概要：
存在性證明：
假設a和b的最大公約數為d，那麼d|a和d|b。根據整除性質，對於任意整數x和y，ax+by一定是d的倍數。
特別地，存在整數x和y，使得ax+by=d，這是因為d是a和b的線性組合的最小正值。
互質情況下的特殊情況：
如果a和b互質，那麼它們的最大公約數為1。在這種情況下，存在整數x和y，使得ax+by=1。這是裴蜀定理的一個重要推論，表明a和b互質的充分必要條件是存在整數x和y使ax+by=1。
推廣：
對於多個整數的情況，存在x1,x2,x3,...,xn，使得a1x1+a2x2+...+anxn=gcd(x1,x2,...,xn)。這是裴蜀定理的一個推廣形式，表明對於任意一組整數，它們的線性組合的最大公約數為這些整數的最大公約數。
以上證明基於數論的基本原理和整除性質，展示了裴蜀定理的強大和廣泛套用。