曲率是描述曲線彎曲程度的一個幾何量，它等於曲線在某一點的切線方向角的變化率除以該點曲線段的弧長。曲率的計算公式可以根據曲線的類型和參數化方式有所不同。
圓的曲率：
對於圓，其曲率 ( k ) 與半徑 ( R ) 的關係是 ( k = \frac{1}{R} )。這是因為圓的半徑越大，單位弧長的彎曲程度越小，因此曲率與半徑成反比。
任意曲線的曲率：
在二維平面上，對於參數方程 ( x(t), y(t) ) 的曲線，曲率 ( k ) 可以計算為 ( k = \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^{2} + y'^{2})^{\frac{3}{2}}} )，其中 ( x', y'' ) 表示 ( x, y ) 對參數 ( t ) 的導數。
另一種表達方式是 ( k = \frac{|y''|}{(1 + y'^{2})^{\frac{3}{2}}} )，這種形式在處理平面曲線時更為常見。
三維空間中的曲率：
對於三維空間中的曲線，其曲率 ( k ) 可以表示為 ( k = \frac{|r' \times r"|}{|r'|^{3}} )，其中 ( r' ) 和 ( r" ) 分別是曲線在參數 ( t ) 處的切向量和二階導數向量。
梁的撓曲線方程中的曲率：
在材料力學中，梁的撓曲線方程可以通過曲率半徑 ( \rho ) 來描述，其中 ( k = \frac{1}{\rho} )。梁的撓曲線微分方程可以近似表示為 ( y'' = -\frac{M(x)}{EI} )，其中 ( M(x) ) 是樑上在點 ( x ) 處的彎矩，( EI ) 是梁的抗彎剛度。
綜上所述，曲率的計算公式取決於曲線的類型和參數化方式。在處理具體問題時，應根據曲線的特性選擇合適的公式進行計算。