本徵值，也稱為特徵值，是線性代數中的一個重要概念。它存在於多種數學場景中，特別是在處理線性變換和矩陣時，本徵值的概念尤為重要。
定義：
線上性代數中，如果有一個矩陣 ( A ) 和一個非零向量 ( \vec{v} )，使得 ( A\vec{v} = \lambda \vec{v} )，其中 ( \lambda ) 是一個標量（即一個數），那麼 ( \lambda ) 被稱為矩陣 ( A ) 的本徵值，( \vec{v} ) 是對應於本徵值 ( \lambda ) 的本徵向量。
本徵值也可以從特徵多項式的角度來定義。設 ( A \in \mathbb{R}^{n \times n} )，其特徵多項式為 ( \det(\lambda I_n - A) )，其根即為 ( A ) 的本徵值。當本徵值 ( \lambda_0 ) 確定時，齊次線性方程組 ( (\lambda_0 I_n - A)\vec{x} = \vec{0} ) 的非零解即為對應於本徵值 ( \lambda_0 ) 的本徵向量。
套用：
在物理學和工程學中，本徵值和本徵向量用於描述系統的固有振動模式和自然頻率。例如，在量子力學中，薛丁格方程就包含了本徵值的概念，用於描述粒子的能量狀態。
在數值分析和科學計算中，本徵值分解常用於降階或簡化矩陣表示，從而更易於處理和分析。
總結：
本徵值不僅是線性代數中的一個基本概念，也在物理、工程、計算機科學等多個領域發揮著重要作用。通過理解本徵值的定義和套用，我們可以更好地套用這一工具來分析和解決各種問題。