柯西不等式定理

柯西不等式定理是由法國數學家安托萬-亨利·柯西在19世紀中期提出的，它是一個非常有用的不等式，可以用來推導很多其他的數學不等式和定理。柯西不等式有幾種不同的形式，其中最基本的形式是：

定理1：設 \( a_1, a_2, \ldots, a_n; b_1, b_2, \ldots, b_n \) 為實數，則有

\[ (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2) \]

若且唯若 \( a_i = 0 \) 或 \( b_i = ka_i \)（其中 \( i = 1, 2, \ldots, n \); \( k \) 為常數）時，等號成立。

定理2：設 \( f(x), g(x) \) 在 \( [a, b] \) 上連續，則有

\[ \left[ \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx \right]^2 \leq \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \times \int_{a}^{b} [g(x)]^2 dx \]

定理3：設 \( a, b \) 為兩個向量，則

\[ |a \cdot b| \leq |a| \cdot |b| \]

若且唯若 \( b \) 是零向量，或存在實數 \( k \)，使 \( a = kb \) 時，等號成立。

柯西不等式的證明方法有很多種，可以通過向量法、定積分法、線性代數法等多種方式進行證明。