極坐標面積分的公式可以表示為∫2πrsinθ√(r^2+r'^2)dθ，其中r是極坐標系中的半徑，θ是角度，r'是r對θ的導數，s表示弧長。這個公式的推導過程如下：
首先，極坐標中的y坐標可以表示為rsinθ。
其次，弧長ds的平方可以表示為(dx)^2+(dy)^2，即((-rsinθ+r'cosθ)dθ)^2+((rcosθ+r'sinθ)dθ)^2，這可以簡化為(r^2+r'^2)(dθ)^2。
最後，對ds進行積分，就可以得到極坐標下的面積積分公式。
此外，如果曲線ρ=R在區間[θ1,θ2]上非負連續，那麼曲線面積可以通過定積分來計算，其積分變數為1/2R×Rdθ。