正定矩陣是一種在數學和物理中常見的矩陣，其定義及性質如下：
定義。對於一箇n階方陣A，如果對於任意的非零向量x，都有x^TAx>0（x^T表示x的轉置），那麼A被稱爲正定矩陣。這個定義可以理解爲正定矩陣將任意非零向量映射到一箇正數。
性質。正定矩陣的所有特徵值都大於零，它在數學和物理中有多種重要的應用，例如，在優化問題和某些物理模型中。
與半正定矩陣的關係。如果一箇矩陣的所有特徵值都大於等於零，那麼它被稱爲半正定矩陣。正定矩陣與半正定矩陣的區別在於，正定矩陣的特徵值僅限於嚴格大於零的值。
正定矩陣的特例包括：
實對稱正定矩陣。這類矩陣在相合變換下可以化爲單位矩陣，其所有順序主子式都大於零。
廣義正定矩陣和狹義正定矩陣。廣義正定矩陣的定義適用於任意方陣，而狹義正定矩陣的定義僅適用於實對稱矩陣或埃爾米特矩陣。
正定矩陣的應用包括：
在線性代數中，正定矩陣的性質類似於複數中的正實數。例如，如果A是正定矩陣，那麼A的逆矩陣也是正定矩陣。
在某些數學和物理問題中，如優化問題和動力學分析，正定矩陣用於確保問題的解是唯一的或者解的穩定性。